Sucesión convergente

Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente.

 

Una sucesión (an  ) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I.

 

 

 

Resolución:

 

·Se toma un e cualquiera (sin especificar más).

 

·Hay que encontrar un no   tal que para n ³ no , 0 - e < an  < 0 + e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Decidir si la sucesión de término general

es convergente y, en caso afirmativo, hallar el límite.

 

Resolución:

· Para n =1, a1 = -1/6 = -0,1666

 

Para n = 7, a7 = 0,9166

 

a10000 = 1,9997001; a30000 = 1,9995667;...

Todo parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n tiende a infinito, es 2.

 

Para probarlo, se hará uso de la definición.

 

· Se toma un e cualquiera.

 

· Hay que ver a partir de qué n se cumple |an   - 2| < e.

 

 

                                          

 

13 < e(n + 5) = en + 5e Þ 13 - 5e < en.

 

 

 

 

En consecuencia, a12996, a12997, a12998 ... están todos contenidos en el

 

Primera propiedad de las sucesiones convergentes

a) Si una sucesión (an  ) tiene límite I positivo, existe un término a partir del cual

todos los términos de la sucesión son positivos.

 

b) Si una sucesión (an  ) tiene límite I negativo, existe un término a partir del cual

los términos de la sucesión son negativos.

 

c) Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

 

Demostración:

 

·Por definición de límite de una sucesión, existe un subíndice n0  tal que para

 

adelante, los que le siguen son positivos.

 

 

 

El razonamiento es análogo al del caso anterior.

 

son alternadamente positivos y negativos.

 

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos (positivo, negativo, positivo).