SUCESIONES ACOTADAS

Sucesiones acotadas superiormente e inferiormente

Una sucesión (an  ) está acotada superiormente si existe un número k tal que cualquier término de la sucesión es menor o igual que k, es decir, para todo n,

an   £ k.

 

Al número k se le llama cota superior de la sucesión.

 

 

De la misma forma, una sucesión está acotada inferiormente si existe un número M tal que cualquier término de la sucesión es mayor o igual que M. En consecuencia, para cualquier n, an   ³ M.

 

Al número M se le llama cota inferior de la sucesión.

 

 

Sucesión acotada

Una sucesión que está acotada superiormente e inferiormente se dice que está acotada. En este caso existe un número k tal que -k < an    < k, es decir, |an  | < k.

 

Observando estas definiciones es claro que una sucesión que diverge a +¥ no puede estar acotada superiormente, y una sucesión que diverge a -¥ no está acotada inferiormente.

 

 

Ejercicio:

inferiormente por 2 y superiormente por 3.

 

Resolución:

 

Multiplicando ambos miembros por n2: 2n2 + 1³ 2n2.

 

Restando 2n2 : 1 ³ 0, lo cual es cierto.

 

 

 

Restando 2n2 a los dos miembros, 1£ n2.

Y esto es cierto ya que n es un número natural.

 

 

 

Resolución:

 

 

 

 

Otras propiedades de las sucesiones convergentes

· Propiedad 1

 

Cualquiera sucesión convergente está acotada.

 

· Propiedad 2

 

Si (an  ) y (bn  ) son dos sucesiones convergentes con límites L1 y L2 respectivamente,

y tales que an    £ bn    para todo n, entonces L1 £ L2.

 

 

· Propiedad 3

 

Si (an  ), (bn  ) y (cn  ) son tres sucesiones convergentes tales que an    £ bn    £ cn   

 

 

La última propiedad se utiliza en numerosas ocasiones para determinar el límite de una sucesión si se conocen los límites de otras dos sucesiones, una de ellas con términos mayores que las de la primera y la otra con términos menores