RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS

 

        Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde  a,  b  y  c  son números distintos de cero.

 

        Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:

 

                               

 

        Esta fórmula se obtiene a través de las siguientes transformaciones de la ecuación de partida ax2 + bx + c = 0.

 

        1. Se resta  c  en los dos miembros de la ecuación:

 

        ax2 + bx = -c

 

        2. Se multiplican los dos miembros de la ecuación por  4a (se puede hacer puesto

que  a ¹ 0):

 

        4a(ax2 + bx) = 4a(-c)  Þ  4a2x2 + 4abx = -4ac

 

        3. Se suma  b2  en los dos miembros de la ecuación:

 

        4a2x2 + 4abx + b2 = -4ac + b2

 

        4. En el primer miembro figura el cuadrado del binomio  2ax + b,  ya que

       

        (2ax+b)2 = 4a2x2 + 4axb + b2.  Por lo que se puede escribir:

 

        (2ax + b)2 = -4ac + b2

 

        5. Extrayendo en los dos miembros la raíz cuadrada, resulta:

 

 

        6. Despejando  x,  se llega a la fórmula anunciada:

 

 

        Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.

 

        De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1  y  x2,  dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz:

 

       

 

 

Ejercicio:

1. Resolver la ecuación  x2 - 5x + 6 = 0.

 

Resolución:

 

1. a = 1;  b = -5;  c = 6.

 

 

 

 

        La ecuación tiene dos soluciones:  x = 3  y  x = 2.

 

 

2. Resolver la ecuación  3x2 + 3x - 18 = 0.

 

Resolución:

 

1. Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:

 

x2 + x - 6 = 0

 

2. a = 1;  b = 1;  c = -6

 

 

 

 

3.  Resolver la ecuación  x2 + x + 1 = 0.

 

Resolución:

 

1. En esta ecuación a = 1;  b = 1;  c = 1.

 

2. Aplicando la fórmula:

 

 

 

3. La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo.

 

4. Resolver la ecuación  10x2 + 5(4x + 2) = 0.

 

Resolución:

 

1. Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma

ax2  + bx + c = 0.

10x2 + 20x + 10 = 0.  Esta ecuación puede simplificarse dividiendo entre 10:

x2 + 2x + 1 = 0

 

2. a = 1,  b = 2,  c = 1

 

3. Se aplica la fórmula:

 

 

Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble:

 

x1 = x2 = -1

 

 

Resolución:

 

1. Se eliminan paréntesis:

 

 

2. Multiplicando la ecuación por el m.c.m. de los denominadores, 20:

 

5 × 3x2 - 4(2x - 4) = 20(2x - 1);     15x2 - 8x + 16 = 40x - 20;

 

15x2 - 8x + 16 - 40x + 20 = 0;      15x2 - 48x + 36 = 0

 

3. Dividiendo toda la ecuación entre 3, resulta:  5x2 - 16x + 12 = 0.

 

4. Aplicando ahora la fórmula:

 

 

5. Las dos soluciones son: