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Raíces cuadradas de un número complejo
Además del método general que se verá más adelante para
calcular raíces cualesquiera de un número complejo argumental, existe
un procedimiento para hallar específicamente las raíces cuadradas de
un complejo en su forma binómica. El procedimiento es idéntico en todos los casos, por lo que bastará
con aplicarlo una vez. Se va a intentar hallar las raíces cuadradas del complejo 7 + 24i
. Sea a + bi una
de dichas raíces cuadradas. Entonces, 7 + 24i
= (a + bi )2 = = a2 + 2abi +
(bi )2 = (a2 - b2) + 2abi Para que estos complejos sean iguales, han de tener iguales su
parte real y su parte imaginaria. Por tanto: 7 = a2 - b2
Haciendo el cambio t = a2 resulta la ecuación t2 - 7t - 144 = 0. Esta ecuación tiene dos soluciones, una positiva y una negativa.
En este caso sólo nos interesa la positiva, ya que t es el cuadrado de un número real.
Así, a2 = t = 16, lo que da
lugar a las soluciones a = ±4
Ejercicio: Resolver la
ecuación z2
+ (2 + i )z - (13 - 13i ) = 0 Resolución: · Siendo un cuerpo
el conjunto de los números complejos, se puede aplicar la fórmula
conocida para la resolución de la ecuación de segundo grado:
donde a = 1, b
= 2 + i y
c = - (13 - 13i
). · El discriminante
es:
b2
- 4ac = (2 + i )2 + 4 (13 - 13i
) = 4 + i 2 + 4i + 52 - 52i
= 55 - 48i · Hay que calcular
su raíz cuadrada. Sea x + yi dicha
raíz:
55 - 48i = (x + yi )2 = (x2 - y2) + 2xyi Igualando parte real e imaginaria:
55 = x2 - y2
Haciendo el cambio t = y2, t2 + 55t - 576 = 0 Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado:
Como t es el cuadrado de
un número real y, por tanto positivo, se desprecia la solución t
= -64
Se tiene entonces que las raíces cuadradas de 55 - 48i
son 8 + 3i y
-8 - 3i . Sustituyendo en la fórmula de la ecuación de segundo grado:
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