Raíces cuadradas de un número complejo

 

Además del método general que se verá más adelante para calcular raíces cualesquiera de un número complejo argumental, existe un procedimiento para hallar específicamente las raíces cuadradas de un complejo en su forma binómica.

 

El procedimiento es idéntico en todos los casos, por lo que bastará con aplicarlo una vez.

 

Se va a intentar hallar las raíces cuadradas del complejo 7 + 24i .

 

Sea a + bi  una de dichas raíces cuadradas. Entonces, 7 + 24i  = (a + bi )2 =

= a2 + 2abi  + (bi )2 = (a2 - b2) + 2abi

 

Para que estos complejos sean iguales, han de tener iguales su parte real y su parte imaginaria. Por tanto:

 

7 = a2 - b2

 

 

 

 

 

Haciendo el cambio t = a2 resulta la ecuación t2 - 7t - 144 = 0.

 

Esta ecuación tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. En este caso sólo nos interesa la positiva, ya que t es el cuadrado de un número real.

 

                               

 

Así, a2 = t = 16, lo que da lugar a las soluciones a = ±4

 

 

                                          

 

 

Ejercicio:

 Resolver la ecuación z2 + (2 + i )z - (13 - 13i ) = 0

 

Resolución:

 

· Siendo un cuerpo el conjunto de los números complejos, se puede aplicar la fórmula conocida para la resolución de la ecuación de segundo grado:

 

                                    

donde a = 1, b = 2 + i   y  c = - (13 - 13i ).

 

· El discriminante es:

               b2 - 4ac = (2 + i )2 + 4 (13 - 13i ) = 4 + i 2 + 4i  + 52 - 52i  = 55 - 48i

 

· Hay que calcular su raíz cuadrada. Sea x + yi  dicha raíz:

 

                                     55 - 48i  = (x + yi )2 = (x2 - y2) + 2xyi

 

Igualando parte real e imaginaria:

 

                                                      55 = x2 - y2

 

 

 

Haciendo el cambio t = y2, t2 + 55t - 576 = 0

 

Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado:

 

                

                                                   

 

Como t es el cuadrado de un número real y, por tanto positivo, se desprecia la solución t = -64

 

 

Se tiene entonces que las raíces cuadradas de 55 - 48i  son 8 + 3i  y -8 - 3i .

 

Sustituyendo en la fórmula de la ecuación de segundo grado: