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Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
Dada la ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0,
y x1 y x2 sus
soluciones, se cumple: 1. La suma de las dos soluciones o raíces de
una ecuación de segundo grado, x1
+ x2, es
Demostración:
2. El producto de las dos soluciones de una
ecuación de segundo grado, x1
× x2, es
Demostración:
El numerador es una suma por una diferencia.
Su resultado es la diferencia de cuadrados:
Ejercicio: 1. Determinar, sin resolver las ecuaciones,
el valor de la suma y del producto de sus soluciones:
Resolución: a)
2x2 + 7x - 15 =
0; a
= 2; b = 7; c = -15
1. Se pasa esta ecuación a la forma
ax2 +
bx + c = 0: 20 = x(9
- x)
Þ 20 = 9x - x2
Þ x2
- 9x + 20 = 0 2. a
= 1; b = -9; c
= 20 c) 3x2
+ 6x + 3 = 0;
en esta ecuación a = 3; b
= 6; c = 3.
Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de
la suma y producto de sus soluciones
Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación
de segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente.
Sea S
la suma de las dos raíces o soluciones de la ecuación:
La ecuación de segundo grado se escribe como
ax2 +
bx + c = 0.
Sustituyendo b
y c por su valor:
ax2 - aSx
+ aP = 0
Dividiendo toda la ecuación entre
a:
x2 - Sx
+ P = 0
Conociendo la suma S, y el producto,
P,
de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, la
ecuación se puede escribir como:
x2 - Sx
+ P = 0 Ejercicio: 1. Determinar la ecuación de segundo grado
cuya suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6. Resolución: 1. S
= 5; P = 6 La ecuación es x2 - Sx
+ P = 0. Sustituyendo
S y
P
por sus valores, se obtiene:
x2 - 5x + 6 = 0 2. Para comprobar que la suma y el producto
de las soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente, basta con
resolver la ecuación.
S = x1
+ x2 = 3 + 2 = 5 P = x1
× x2 = 3 × 2 = 6 Luego, efectivamente la ecuación es
x2 - 5x
+ 6 = 0. 2. Determinar una ecuación de segundo grado
que tenga por soluciones x1
= - 2, x2 = 3. Resolución: 1. S
= x1 + x2
= -2 + 3 = 1
P = x1
× x2 = -2 × 3 = -6 2. Sustituyendo los valores de
S
y P
en la ecuación x2
- Sx + P = 0
se obtiene la ecuación x2
- x - 6 = 0. 3. Para
comprobarlo basta con resolver la ecuación y observar que sus raíces
son -2 y 3. 3. Determinar una ecuación de segundo grado
sabiendo que la suma de sus raíces
Resolución:
1. Multiplicando toda la ecuación por el
m.c.m de los denominadores, se obtiene la ecuación equivalente
6x2 - 8x
+ 15 = 0. 4. Obtener dos números sabiendo que su suma
es 5 y su producto es -14. Resolución: 1. La búsqueda de los dos números puede
hacerse considerándolos como las dos soluciones de una ecuación de
segundo grado. S = 5; P
= -14. 2. Los dos números son las soluciones de la
ecuación x2 - 5x - 14 =
0.
Los dos números buscados son 7 y -2. 3. Comprobación: 7 + (-2) = 5 = S
7
× (-2) = -14 = P |
