Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética

 

Se denotará por Sn  a la suma a1 + a2 + ... + an

 

Se tiene entonces:

 

                           Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an

 

Invirtiendo el orden,

 

                           Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1

 

y sumando,

 

                2Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an - 1 + a2) + (an + a1)

 

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

 

                        a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1

 

Por tanto, 2 · Sn = n(a1 + an), y despejando:

 

                                           

 

Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos.

 

Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay

(83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros).

 

La suma es:

 

                                             

 

Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050.

 

Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a

2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar:  50 · 101 = 5 050.

 

 

Ejercicio:

 Sumar los veinte primeros términos de la progresión:

 

-5, 4, 13, 22, 31, 40

 

Resolución:

 

 

· La diferencia es d = 9

 

· a20 = -5 + (20 - 1) · 9

 

   a20 = -5 + 19·9 = 166

 

 

 

‚ Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar los términos comprendidos entre a24 y a36.

 

Resolución:

 

· La diferencia es d = -5.

 

a24 = 8 + 23 · (-5) = -107

 

a36 = 8 + 35 · (-5) = -167

 

Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos.

 

 

ƒ ¿Cuántos términos de la progresión -11, -4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea 570?

 

Resolución:

 

Se sabe que:

 

                a1 = -11, d = 7, an = -11 + (n - 1) 7 = 7n - 18 y Sn = 570.

 

Se ha de calcular n:

                                    

 

                                         1140 = 7n2 - 29n

 

                                        7n2 - 29n - 1140 = 0

 

Se resuelve la ecuación de 2.º grado: