Término general de una progresión geométrica

 

La fórmula del término general de una progresión geométrica (an) se encuentra sin más que observar que:

 

                                                   a2 = a1 · r

 

                                    a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2

 

                                    a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3

 

                                    a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4

                                .......................................................

 

Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:

 

- La primera es siempre a1

 

- La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice.

 

En definitiva, la expresión del término general es:

 

                                           an = a1 · rn - 1

 

· Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior.

 

· Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

 

· Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales.

 

· Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

· Se trata de una progresión geométrica de razón r = 3 y primer término

 

· El término general es, por tanto:

 

                                            

 

                                              an = 3n - 2

 

¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, ...?

 

Resolución:

 

· Es una progresión geométrica en la que el primer término a1 vale -1, y la razón es:

 

                                     

 

· Su término general es, pues:

 

                                              an = -1 · (-2)n - 1

 

Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada.