PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

 

 

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función

F(x) + C es otra primitiva de f(x).

 

Demostración:

 

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

 

                                     (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

 

 

Ejercicio:

 Encontrar tres primitivas de la función cos x.

 

Resolución:

 

· Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

 

· Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

 

                               

 

 

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

 

Demostración:

 

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar

a C.

 

Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

 

Demostración:

 

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.

 

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);

                 si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).

 

Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.