Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica

 

Se denotará por Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

 

                                 Sn    = a1 + a2 + ... + an  - 1 + an

 

Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón:

 

                                Sn  · r = (a1 + a2 + ... + an  - 1 + an   ) · r

                            Sn   · r  = a1  ·r  + a2 ·r  + ... + an  - 1 ·r  + an   ·r,

                           

 

y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el término siguiente,

       

                                Sn   · r   = a2 + a3 + ... + an   + an   · r

                                 

 

Restando ahora a esta igualdad la primera:

 

                                Sn   · r   = a2 + a3 + ... + an   + an   · r

                                    Sn    = a1 + a2 + ... + an  - 1 + an

                                          ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

                                                   Sn   · r   - Sn    = -a1 + an   · r

                          

                                        Sn   (r   - 1) =  an   · r  - a1

 

Despejando Sn,

 

                                         

 

Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general an como a1 · rn - 1:

 

                      

 

                                          

 

Ejercicio:

 Sumar los quince primeros de la progresión geométrica 3/2, 9/2, 27/2 ...

 

Resolución:

 

 

 

‚ Sabiendo que 3 es el primer término de una progresión geométrica y 1 875 el quinto, calcular la suma de esos cinco términos.

 

Resolución:

 

· a5 = 1875 = 3·54 = a1·r4 Þ r4 = 54 Þ r = ±5

 

 

 

ƒ Sumar los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la

 

Resolución: