Suma de los términos de una progresión geométrica de razón -1 < r < 1

 

Si r es un número mayor que -1 y menor que 1, rn se aproxima tanto más a cero cuanto más grande sea n; matemáticamente esto se expresa diciendo que rn tiende a cero.

 

Obsérvese cómo, por ejemplo,  (1/2)2 = 1/4 = 0,25

                                             (1/2)3 = 1/8 = 0,125

                                             (1/2)4 = 1/16 = 0,0625

                                           ...............................................

 

                                           (1/2)20 = 1/1048576 = 0,0000009

 

Y de igual modo        (-1/2)2 = 1/4 = 0,25

                                (-1/2)3 = 1/8 = -0,125

                                (-1/2)4 = 1/16 = 0,0625

                                ................................................

 

                                (-1/2)20 = 1/1048576 = 0,0000009

 

Ejercicio:

 Calcular la suma de todos los términos de la progresión: 0,3; 0,15; 0,075;...

 

Resolución:

 

· Se trata de una progresión geométrica decreciente cuyo primer término

 

 

‚ Sumar todos los términos de la progresión geométrica -7, 7/3, -7/9, 7/27...

 

Resolución:

 

 

ƒ En un triángulo equilátero de 6 metros de lado, se unen los puntos medios de sus lados, obteniéndose así otro triángulo inscrito en el primero. Este proceso se repite indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de todos los triángulos formados.

 

Resolución:

· Se trata aquí de sumar todos los términos de una progresión geométrica ilimitada cuya razón es menor que uno, puesto que las áreas de los triángulos que se van formando son cada vez menores.

 

· El primer término de la progresión será el área del primer triángulo:

 

 

primero.

 

 

 

„ Dado un círculo de radio r, se construye un segundo círculo cuyo diámetro sea el radio del anterior, un tercero cuyo diámetro sea el radio del segundo y así sucesivamente. ¿Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados?

 

Resolución:

· Como en el caso anterior, se trata de sumar todos los términos de la progresión geométrica que forman las áreas de los círculos.

 

 

· Se observa que se trata de una progresión geométrica decreciente de