Ecuaciones de parábolas

Ejercicio:

� Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x² + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz.

· Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma:

(y - y₀)² = ± 2p(x - x₀) ó (x - x₀)² = ± 2p(y - y₀)

· La ecuación dada tiene un término en x². Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (x - x₀)² = ± 2p(y - y₀)

· 2x² + 8x + 3y - 5 = 0 Þ 2x² + 8x = -3y + 5 Þ

x² + 3x = (x + 2)² - 4. Se sustituye en la ecuación:

· Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

· Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

· Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:

‚ Hallar los elementos de la parábola y² - 4x + 6y + 13 = 0.

Resolución:

· Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y:

 y² + 6y = 4x - 13

 y² + 6y = y² + 2 · 3y + 3² - 3² = (y+3)² - 9.

 (y+3)² - 9 = 4x - 13 Þ  (y+3)² = 4x - 4

 (y+3)² = 4(x-1)

· Es una parábola con vértice en el punto (1, -3).

vértice.

· La directriz se obtiene restándole la mitad del parámetro a la abscisa del vértice:        x = 1 - 1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas.