Ecuación canónica de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

 

                                           y = 2px

 

Demostración:

 

 

 

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

 

Elevando al cuadrado:

 

 

 

-px + y2 = px Þ y2 = 2px

 

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

· Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.

 

· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.

 

· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.

 

Parábola con vértice en un punto cualquiera

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos:

· Eje horizontal y foco a la derecha:       (y-y0)2 =  2p(x-x0)

 

· Eje horizontal y foco a la izquierda:      (y-y0)2 = -2p(x-x0)

 

· Eje vertical y foco por encima:             (x-x0)2 =  2p(y-y0)

 

· Eje vertical y foco por debajo:              (x-x0)2 = -2p(y-y0)

 

 

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.