Optimización de funciones

 

La determinación de extremos de una función tiene otras aplicaciones que van más allá del trazado de curvas.

 

 De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio 3 dm, encontrar el de mayor volumen.

 

El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura:

 

                                             

 

siendo r  el radio de la base del cilindro.

 

Por el teorema de Pitágoras,

 

                                      

 

Sustituyendo en la expresión de V,

 

                                  

 

Así, V es una función de h. Para calcular las medidas del cilindro de mayor volumen hay que encontrar el máximo de la función V(h).

 

Derivando respecto a h e igualando a cero,

 

                   

                   

                                          

 

Hay que comprobar que para este valor de h, V alcanza su valor máximo.

Llevando este valor a la expresión de r2,

 

                                          

 

 

 

‚ Hallar las dimensiones mínimas que debe tener una hoja de papel para contener una superficie útil de 54 cm2 con unos márgenes de 1,5 cm a derecha e izquierda y de 1 cm por arriba y por abajo.

 

Resolución:

Llamando x e y a las dimensiones del total de la hoja, y a y b a las dimensiones de la superficie útil,

 

S = x ˇ y

a ˇ b = 54

 

 

                                    

 

 

                     

 

 

El problema se reduce a calcular el valor de a que hace S(a) mínimo; por tanto hay que encontrar el mínimo de S(a).

 

Derivando respecto a a e igualando a cero,

 

          

 

Para comprobar que en a = 9 hay un mínimo se calcula la derivada segunda de S: