Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A^T.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (a_{i j} ) es una matriz m ´ n, entonces A^T =  es la matriz n ´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1.  (A + B)^T = A^T + B^T.

2.  (A^T)^T = A.

3.  (kA)^T = kA^T (si k es un escalar).

4.  (AB)^T = B^TA^T.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si A^T = A; y que es antisimétrica,

si A^T = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A^T = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA^T = A^T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A^-1 = A^T.

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA^T = A^TA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo: