Traspuesta de una matriz

 

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

 

Así, la traspuesta de

 

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ´ n, entonces AT =  es la matriz n ´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

 

1.  (A + B)T = AT + BT.

2.  (AT)T = A.

3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4.  (AB)T = BTAT.

 

Matrices simétricas

 

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.

 

Ejemplo:

 

Consideremos las siguientes matrices:

   

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

 

Matrices ortogonales

 

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

 

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

 

Matrices normales

 

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

 

Ejemplo:

 

 

 

  

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal