|
MATRICES
Y SISTEMAS
DE ECUACIONES
LINEALES
La matriz ampliada M
de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los
coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a
las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales
puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente,
reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss. Método de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el
siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea el sistema,
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el método de
Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de
la x, la segunda a los de la y,
la tercera a los de la z y la
cuarta a los términos independientes:
De este modo, el sistema tiene la
solución única x = 2, y = -1, z = 3. La resolución de sistemas de
ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros,
es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas. Ejercicio:
Hallar el valor de x, y, z,
t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando
matrices:
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
La tercera fila se suprime, puesto
que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el
sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:
La solución del sistema es
compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones. x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 ó
(- 9 - y + 10t,
y, 7t - 7, t). Dependiendo de qué valores se
escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema x
= -9, y = 0, z = -7, t
= 0. b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
No hay necesidad de continuar
calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que
el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente,
la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación 0x + 0y + 0z
+ 0t = -5 obteniendo como resultado
0 = -5, que es
absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución. |
