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CÁLCULO
DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A
= (aij):
1. El rango de la matriz A
coincide con el de la matriz A'
que se obtiene suprimiendo en la matriz A
todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas
por ceros, es decir, que sean nulas. 2. Consideremos la matriz:
A1 = (a11, a12,
..., a1N) y supongamos que
entonces :
rango (A) ³ rango(A
1) = 1 3. Añadimos filas de la matriz A
a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que
cumpla:
tal que posea un menor no nulo de la
forma:
Por consiguiente, rango (A) ³ rango(A
2) = 2. Si esto no hubiese sido posible,
entonces: rango (A) = 1. Supongamos que rango (A)
³ rango (A2) y que i = 2 y j = 2. 4. Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que
cumpla:
de forma que posea un menor de orden
tres de la forma:
Entonces: rango (A) ³
rango (A2) = 3. En caso de no haber sido posible
encontrar dicho menor, entonces: rango (A)
= rango (A2) = 2. Suponiendo que rango (A)
³ rango (A3) y que i = 3
y j = 3, se procedería como
en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las
filas de la matriz A. Ejemplos: a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).
Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A)
puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes
de las submatrices de orden dos de A.
Así pues
Ya que el resultado es cero,
probaremos con todas las submatrices de A
hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos
ninguna, el rango (A) = 1.
Puesto que el resultado de calcular
el determinante de esta submatriz de A
no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2. Añadimos ahora una columna y una
fila más para ver si el rango puede ser tres:
Dado que el determinante de A
no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango (A) = 3. No necesariamente para poder
calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en
el siguiente ejemplo: b) Calcular el rango de la matriz B
de orden 3 ´ 4.
Como hay una determinante de orden
dos no nulo, el rango de la matriz B
es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de
orden superior:
Probamos con un segundo determinante
de orden tres:
Así pues, como hay un determinante
de orden tres que no es nulo, el rango (B)
= 3. |
