Propiedades de los logaritmos

 

1. Logaritmo de un producto

 

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

                                           loga(X · Y)= loga X + loga Y

 

 

Demostración:

 

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.

loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y

 

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,

 

                         loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn

 

2. Logaritmo de un cociente

 

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

 

                                                 

 

Demostración:

 

Sea loga X = x; esto significa que ax = X

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y

 

                  

 

3. Logaritmo de una potencia

 

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

 

                                               loga Xn = n loga X

 

Demostración:

 

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

                             loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X

 

 

4. Logaritmo de una raíz

 

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

 

                                        

 

Demostración:

 

Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.

 

                               

 

Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.