El problema del límite

Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste en determinar a qué número, si es que existe, se aproximan sus términos.

 

al aumentar n (el número de orden), an   está cada vez más próximo a cero:

 

 

1. Ningún término de la sucesión llega a valer cero.

 

2. Elegido un entorno centrado en cero, por pequeño que éste sea, siempre se encuentra un término tal que a partir de él todos los términos de la sucesión están dentro de ese entorno.

 

Por ejemplo, si se elige el entorno (-0,0001 ; 0,0001), a partir del término a10000, todos los demás términos (an  , n > 10 000) están en dicho entorno.

 

En efecto:

 

· a10000  = 0,0001. Coincide con uno de los extremos del intervalo y, por definición, no tiene cabida en él.

 

(-0,0001 ; 0,0001).

 

 

· Si n > 10 001, an   < a10001 < 0,0001

 

· Se concluye que si n > 10 000, an   Î (-0,0001; 0.0001).

 

 

Este ejemplo pone las cosas a punto para comprender la definición de límite de una sucesión.

 

 

 

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

 

Dada una sucesión (an), se dice que (an) tiene por límite I, tiende a l  o converge a l  cuando n tiende a infinito (¥), y se simbolizará

 

                                            

o más simplificadamente

                                               (an) ® I,

 

si para todo e > 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n0 tal que para todo n ³ n0, an pertenece al entorno (I - e, I + e).

 

Es decir, a partir de un elemento en adelante todos caen en el entorno citado.

Esto significa que para n ³ n0, | an   - I | < e.

 

Y recordando el significado de valor absoluto, | an   - I | < e se traduce en

-e < an - I < e, y sumando I a los tres miembros de la desigualdad, I -e < an < I + e.

 

EL número n0  que se ha de encontrar para cada e, depende de éste.

 

    En general, cuando más pequeño se tomo e, mayor ha de ser el n0  correspondiente.