Cálculo de límites de funciones racionales

 

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

 

 

Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

 

                                        

 

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.

 

Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.

 

 

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

 

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.

 

 

 

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz

 

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.

 

A.2.2. El límite del numerador no es cero.

 

 

 

Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la

 

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

 

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

 

 

Resolución:

 

 

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 y

Q(x) = x2 + 3x -10.

 

· Descomposición factorial de P(x):

 

 

· Descomposición factorial de Q(x):

 

 

· El límite del cociente P(x)/Q(x) es:

 

 

 

Resolución:

 

 

· Se simplifican numerador y denominador:

 

 

 

Resolución:

 

· Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.

 

 

 

 

 

Resolución:

 

· Se estudian los límites laterales:

 

 

 

Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.