Cálculo de límites con sucesiones divergentes

 

Al aplicar las propiedades de cálculo de límites a sucesiones divergentes hay que tomar ciertas precauciones. Por ejemplo, ¿cuál es el límite de una suma de dos sucesiones, una de las cuales diverge a +¥ y la otra converge a un número cualquiera? Según la propiedad del límite de una suma de sucesiones, dicho límite habría de ser (+¥ +a), siendo a el límite de la sucesión convergente. Ahora bien, ¿qué significa la suma (+¥ +a)? Intuitivamente significa que se está sumando una cantidad infinitamente grande a un número; desde luego la cantidad resultante ha de ser infinitamente grande. Esto puede simbolizarse escribiendo

 

                                                       (+¥) + a = +¥

 

lo cual induce a pensar que la suma de una sucesión divergente y otra convergente, necesariamente es divergente.

 

Análogamente, si un número menor que 1 se multiplica consigo mismo, cada vez que se hace uno de estos productos, el resultado va haciéndose menor.

 

Si este proceso se repite hasta el infinito, no parece descabellado pensar que si una sucesión (an  ) converge a un número positivo y menor que 1 y otra sucesión

 

Este hecho puede simbolizarse por a = 0, siendo 0 < a < 1.

 

 

Ejemplo:

 

Resolución:

 

· La base es un cociente de dos polinomios del mismo grado, por tanto su límite es

 

· El exponente es también un cociente de dos polinomios en los que el grado del denominador es menor que el del numerador; y por ser el coeficiente de n5 negativo, el límite es -¥.

 

 

                                    

 

 

Resolución:

 

· Es el límite de un producto. El primer factor es un cociente de dos polinomios siendo el grado del numerador mayor que el del denominador, y al ser el coeficiente de mayor grado del numerador 3, positivo, el límite es +¥.

 

· El segundo factor es otro cociente de polinomios, esta vez del mismo

 

El límite que se pide es de la forma (+¥)·(-5) = -¥