Tipos de interés

Imagínese la siguiente situación: dos personas A y B invierten al mismo tiempo un capital C, y con una misma tasa de interés i .

Al cabo de un año, A retira los intereses producidos por el capital y vuelve a dejar el mismo capital invertido. En el segundo año, vuelve a retirar los intereses y a invertir el mismo capital, etc. Cada año retira los intereses producidos por su capital C durante ese año.

En cambio, al cabo del primer año, el individuo B no retira el interés, lo invierte junto al capital anterior durante un año más. Y así sucesivamente.

En el primer caso, los intereses producidos son siempre por el mismo capital C. En el segundo caso, el capital varía, aumenta. La siguiente tabla resume la situación:

Interés simple y compuesto

Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el interés de la persona A es un interés simple.

Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo. El interés de la persona B en el ejemplo, es un interés compuesto.

Fórmula del interés simple

El interés  I   que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo  t, y a la tasa de interés  i :

                                                 I = C · i  · t

donde  i  está expresado en tanto por uno y  t  en años.

Ejercicio:

Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

Resolución:

Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06

                                I = 25 000·0,06·4 = 6 000                      ? = C·i·t

El interés es de 6 000 pesos

Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Resolución:

                                                                                          ? = C·i·t

Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Resolución:

                                             I = ?·i·t

El saldo medio ha sido de 48 500 pesos

Un préstamo de 20 000 pesos se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Resolución:

Los intereses han ascendido a:

                                22 400 - 20 000 = 2 400 pesos                                                                                                                     I = C·?·t

Aplicando la fórmula I = C · i · t

La tasa de interés es del 12 %.

Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

Resolución:

Aplicando la fórmula I = C · i · t

                                12 000 = 300 000 =: 0,08 · t

                                                                                          I = C·i·?

El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.

Fórmula del interés compuesto

Sea  C  un capital invertido durante  n  años a una tasa  i  de interés compuesto por cada año.

Durante el primer año el capital  C  produce un interés  I1 = C · i .  El capital final será:

                                     C1 = C + Ci = C(1 + i)

Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será:

                        C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i  + 1) =

                             = C · (1 + i )2

Al cabo de  n  años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final Cn,

                                               Cn = C (1 + i )n

Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial:

I = Cn - C = C (1 + i )n - C,  y sacando factor común  C:

La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de  Cn:

                                               Cn = C (1 + i )n

Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años:

Si los periodos de conversión son semestrales,

Si los periodos de conversión son trimestrales,

Ejercicio:

Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Resolución:

Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n

                                                                                     ? = C( 1 + i )n

C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6

El capital final es de 1 763 194 pesos.

Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

Resolución:

Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es:

                                         1 583 945 = C (1 + 0,05)14

                      1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C:

El capital inicial fue de 800 000 pesos.

Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital

de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos.

Resolución:

Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4

                                   2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4

                                            1 + i = 1,1199999

                                                 i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999   0,12

La tasa de interés ha sido del 12 %.