Reducción de la ecuación de la hipérbola

Sea una ecuación de la forma Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de una hipérbola.

Ejercicio:

� Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x² - 9y² - 8x + 36y + 4 = 0.

Hallar su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

(4x² - 8x) - (9y² - 36y) + 4 = 0

4(x² - 2x) - 9(y² - 4y) + 4 = 0

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

x² - 2x = x² - 2 · 1x + 1² - 1² = (x - 1)² - 1

y² - 4y = y² - 2 · 2y + 2² - 2² = (y - 2)² - 4

· Se sustituye en la ecuación:

4(x - 1)² - 4 - 9(y - 2)² + 36 + 4 = 0

4(x - 1)² - 9(y - 2)² = 4 - 36 - 4 = -36

· Se divide entre -36:

· Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y sus semiejes son a =  = 2 y b =  = 3

· Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) y (1, 4).

· Asíntotas:

‚ Hallar los elementos de la hipérbola x² - y² + 2x + 4y - 12 = 0

Resolución:

· (x² + 2x) - (y² - 4y) - 12 = 0

x² + 2x = x² + 2 · 1x + 1² - 1² = (x+1)² - 1

y²-4y = y² - 2 · 2y + 2² - 2² = (y -2)² - 4

(x + 1)² - 1 - (y - 2)² + 4 - 12 = 0

(x + 1)² - (y - 2) = 1 - 4 + 12 = 9

· Se trata de una hipérbola con centro en (-1, 2), eje real horizontal, y semiejes

a = 3,  b = 3  (este tipo de hipérbolas que tienen iguales sus semiejes se llaman hipérbolas equiláteras).

· Los vértices son los puntos (-4, 2) y (2, 2).

· Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida:

                                Þ (x + 1)² = (y - 2)² Þ x + 1 = ±(y - 2)

x + 1 = y - 2 Þ y = x + 3

x + 1 = -y + 2 Þ y = 1- x