HIPÉRBOLAS

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa  por 2a).

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede

considerar . Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.

hipérbola.

Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

Cálculo de los radios vectores de un punto

En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) los radios vectores son:

Demostración:

Los radios vectores son:

Eliminando los términos comunes:

2cx = 4a² - 2cx + 4a·

Despejando:

4a ·  = 2cx - 4a² + 2cx = 4cx - 4a², luego

' = + 2a = ex - a + 2a = ex + a

Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que , lo cual sólo es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó valor absoluto en los segundos miembros.