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Método
de Gauss Sea A = (ai
j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: Paso
1. Construir la matriz n
´ 2n M = (A
Paso
2. Se deja tal y como está
la primera fila de M, y debajo
del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote,
ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria
Paso
1.
Paso
2.
El siguiente paso es igual que el
anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la
diagonal principal. Al llegar al último término de la
diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del
nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de
la diagonal, la matriz A se
transforma en una matriz triangular. Una vez realizados todos los pasos,
la mitad izquierda de la matriz M
se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a
transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz
identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M
por un escalar. Ejemplo: Supongamos que queremos encontrar la
inversa de
Primero construimos la matriz M
= (A
La mitad izquierda de M
está en forma triangular, por consiguiente, A
es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A
de M, la operación habría
terminado (A no es
invertible). A continuación, cogemos como pivote
a33, ponemos ceros
encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz
diagonal.
Ya que la matriz colocada en la
mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la
matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la
segunda fila entre -1:
La matriz que ha quedado en la mitad
derecha de M es precisamente
la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es
correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la
matriz identidad I. Comprobación: AA-1 = I
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