Método de Gauss

 

Sea A = (ai j  ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

 

Paso 1. Construir la matriz n ´ 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

 

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo:

 

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria

 

                                     

 

Paso 1.

 

Paso 2.

 

 

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.

 

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

 

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

 

Ejemplo:

 

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

 

 

Primero construimos la matriz M = (A I),

 

 

 

   

 

            

 

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).

 

A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

 

 

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

 

 

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

 

 

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

 

Comprobación:

AA-1 = I