Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Si una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto (x_0, y₀), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector

-x_{0 1} - y_{0 2} y obtener una elipse centrada en el origen.

Entonces el punto que ha de verificar la ecuación canónica es (x - x₀, y - y₀). Por tanto, su ecuación es:

Desarrollando esta ecuación, se obtiene:

b²x² - 2b²x₀ x + b²x₀² + a²y² - 2a² y₀y + a²y₀² - a²b² = 0,

que se puede poner en la forma:

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.

Ecuación de una elipse vertical

Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:

Los vértices son los puntos (x₀ ± b, y₀) y (x₀, y₀ ± a) y los focos son (x₀, y₀ ± c).

Reducción de la ecuación de una elipse

Dada una ecuación del tipo Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse

por el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación reducida de la elipse.

Si el segundo miembro fuese 1, se tendría una elipse centrada en (x₀, y₀). Los ejes

de la elipse son las rectas x = x₀ e y = y₀. Los vértices son (x₀ ± a, y₀) y (x₀, y₀ ± b).

En otro caso, como una suma de cuadrados es siempre positiva, se tendría que ningún punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria.

Ejercicio:

� Reducir la ecuación 4x² + 9y² - 8x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices.

Resolución:

· Se agrupan los términos en x² con los términos en x y los términos en y² con los términos en y:

(4x² - 8x) + (9y² + 18y) - 23 = 0

· Se saca factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término de segundo grado:

4(x² - 2x) + 9 (y² + 2y) - 23 = 0

· Se opera en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto:

x² - 2x = x² - 2x + 1 - 1 = (x - 1)² - 1

y² + 2y = y² + 2y + 1 - 1 = (y + 1)² - 1

· La ecuación se puede escribir:

4[(x-1)² - 1] + 9[(y + 1)² - 1] - 23 = 0

4(x - 1)² + 9(y +1)² = 36

· Se divide entre 36:

· Centro de la elipse: (1, -1)

· Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro.

Los focos son 

· Los vértices se obtienen sumando y restando a las coordenadas del centro los semiejes de la elipse:

(1 ± 3, -1), lo que da los puntos (4, -1) y (-2, -1)

(1, -1 ± 2), lo que da los puntos (1, 1) y (1, -3)

‚ Reducir y, en su caso, hallar los elementos de la cónica de ecuación

x² + 3y² - 8x - 12y + 32 = 0

Resolución:

· (x² - 8x) + (3y² - 12y) + 32 = 0

· (x² - 8x) + 3(y² - 4y) + 32 = 0

· x² - 8x = x² + 16 - 16 - 8x = (x - 4)² - 16

y² - 4y = y² + 4 - 4 - 4y = (y - 2)² - 4

· (x - 4)² + 3 (y - 2)² - 16 - 12 + 32 = 0

(x - 4)² + 3(y - 2)² = -4

Como el primer miembro es suma de números positivos y el segundo es un número negativo, la ecuación no tiene solución y se trata de una elipse imaginaria.

ƒ Hallar los elementos de la elipse 25x² + 16y² - 50x + 64y - 311 = 0

Resolución:

· (25x² - 50x) + (16y² + 64y) - 311 = 0

25(x² - 2x) + 16(y² + 4y) - 311 = 0

x² - 2x = x² - 2 · 1x + 1² - 1² = (x - 1)² - 1

y² + 4y = y² + 2 · 2y + 2² - 2² = (y + 2)² - 4

Sustituyendo, la ecuación es:

25(x - 1)² - 25 + 16(y + 2)² - 64 - 311 = 0

25(x - 1)² + 16(y + 2)² = 25 + 64 + 311 = 400

Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, no puede ser a² = 16 y b² = 25, lo cual significa que la elipse tiene su eje principal vertical.

Entonces:

· El centro es (1, -2)

· Los vértices son:

(1 ± 4, -2), o sea (-3, -2) y (5, -2)

(1, -2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3)