Ejercicios resueltos de programación lineal

1 Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ?Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá

a) Sean.

x= cantidad invertida en acciones tipo A

y= cantidad invertida en acciones tipo B

Las restricciones son:

Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente gráfica:

b) La función de beneficios es:

Y los vértices de la zona sombreada son:

A intersección de r,t:

B intersección de t,u:

C intersección de s,u, o sea C(7, 3)

D(7, 0)

E(2, 0)

Los valores de f en esos puntos son:

Ha de invertir, pues 5 millones en A y 5 en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones, o sea 1050000 ptas.

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2 Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

Sean:

X= n: de barriles comprados de crudo ligero.

Y= n: de barriles comprados de crudo pesado.

La tabla de producción de cada producto con arreglo al tipo de crudo es:

 

G

C

T

Ligero

0,3

0,2

0,3

Pesado

0,3

0,4

0,2

La función objetivo que hay que minimizar es:

f(x, y)=35x+30y

Las restricciones:

Y la zona de soluciones factibles:

Los vértices son:

A(0, 3000000)

B intersección de r,s:

C(4000000, 0)

Y, en ellos la función objetivo presenta los valores:

Siendo la solución de mínimo coste la compra de 3000000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo pesado para un coste de 90000000

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3 La fábrica Gepetto S.A., construye soldados y trenes de madera. El precio de venta al público de un soldado es de 2700 pesos y el de un tren 2100 pesos. Gepetto estima que fabricar un soldado supone un gasto de 1000 pesos de materias primas y de 1400 pesos de costes laborales. Fabricar un tren exige 900 pesos de materias primas y 1000 pesos de costes laborales. La construcción de ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar un soldado se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Un tren necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. Gepetto no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, Gepetto fabrica, como máximo, 40 soldados a la semana. No ocurre así con los trenes, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas.

Obtén el número de soldados y de trenes que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

Sea:

x= n: de soldados fabricados semanalmente.

y= n: de trenes fabricados semanalmente.

La función a maximizar es:

La tabla de horas de trabajo:

 

Carpintería

Acabado

Soldados

1

2

Trenes

1

1

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices:

A(0, 80)

B intersección de r,s:

C intersección de s,t:

D(40, 0).

En los que la función objetivo vale:

Debiendo fabricar 20 soldados y 60 trenes para un beneficio máximo de 18000 pesos.

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4 Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. SE decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kg. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogur de fresa es es doble que el de un yogur de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el coste de la campaña sea mínimo?

Llamemos:

x= n: de yogures de limón producidos.

y= n: de yogures de fresa producidos.

a= coste de producción de un yogur de limón.

La función a minimizar es:

f(x, y)=ax+2ay

Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices:

A(0, 45000)

B(0, 30000)

C intersección de r y s:

En los que la función objetivo toma los valores:

Hay que fabricar, pues, 10000 yogures de limón y 20000 yogures de fresa para un coste mínimo de 50000a

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5 Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesoso y de 3 millones por cada coche. ?Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

Sea:

x= n: de camiones fabricados.

y= n: de coches fabricados.

La función a maximizar es:

f(x, y)=6x+3y

La tabla de días-operario para cada nave es:

 

Días-operario (camión)

Días-operario (coche)

Nave A

7

2

Nave B

3

3

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices:

A(0, 90)

B intersección de r,s:

En los que la función objetivo toma los valores:

Hay que fabricar 24 camiones y 66 coches para un beneficio máximo de 342 millones de pesos.

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6 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kg. de A, 90 kg. de B y 150 kg. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg. de A, 1 kg. de B y 2 kg. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kg. de A, 2 kg. de B y 1 kg. de C.

  1. Si se venden las tartas T1 a 1000 pesos la unidad y las T2 a 2300 pesos. ?Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?

  2. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1500 pesos. ?Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricara 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

 

  1. Sea:

x= n: de tartas T1

y= n: de tartas T2

La función objetivo es:

f(x, y)=1000x+2300y

La tabla de contingencia es:

 

Ingrediente A

Ingrediente B

Ingrediente C

Tarta T1

1

1

2

Tarta T2

5

2

1

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 30)

B intersección de r.s:

C intersección de s,t:

D (75, 0)

Valores de la función objetivo:

Hay que fabricar 50 tartas T1 y 20 tartas T2 para un beneficio máximo de 96000 pesos.

  1. Llamemos ahora p al nuevo precio de la tarta T2. La función objetivo es entonces

f(x, y)=1500x+py

Siendo iguales las restricciones. Si una solución óptima consiste en fabricar 60 tartas T1 y 15 T2, se tendrá que:

f(60, 15)=f(p)=1500.60+15p es máximo

Para los puntos A, B, C y D anteriores:

Se ha de cumplir, el el punto (60, 15) ha de ser máximo que:

El menor valor que cumple esta condición es p=3000 pesos y con él el beneficio sería:

pesos.

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7 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ?Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

Llamamos:

x= n: de chaquetas fabricadas.

y= n: de pantalones fabricados.

Función objetivo:

Tabla de uso de las máquinas:

 

Cortar

Coser

Teñir

Chaqueta

1

3

1

Pantalón

1

1

-

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 7)

B intersección de s,t:

C intersección de r,s:

D (3,0)

Valores de la función objetivo:

Como el máximo se alcanza para valores no enteros y no se puede fabricar un número no entero de chaquetas ni pantalones tomamos como solución aproximada 2 chaquetas y 5 pantalones lo cual sería exacto cambiando la restricción s por y obteniendo con ello un beneficio de 41 euros.

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8 Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 pesos el litro de aceite C y a 125 pesos el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3125 pesos, se pide:

  1. Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta.

  2. Acogiéndonos a la oferta, ?Cuál el la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ?Cuál es la máxima de C?

a) Llamemos:

x= litros comprados de aceite C

y= litros comprados de aceite D

Las restricciones del problema son:

Y la zona mediante la cual podemos acogernos a la oferta es la representada por cada uno de los puntos de la parte sombreada en la siguiente gráfica.

b) La mínima cantidad de aceite D que debemos comprar acogiéndonos a la oferta (punto más bajo de la zona) es el punto intersección de las rectas r,t:

La máxima cantidad de aceite C para acogernos a la oferta (punto más a la derecha de la zona) es la intersección de las rectas t,u:

Conclusión, la mínima cantidad de D es 2 litros y la máxima de C 10 litros.

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9 Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de pesos, y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de pesos. ?Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

Llamemos:

x= coches vendidos del modelo A

y= coches vendidos del modelo B

Función objetivo:

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A intersección de s,t:

Intersección de r,s:

C(20, 0)

D(4, 0)

Valores de la función:

Por lo cual se han de vender 20 coches modelo A y 10 coches modelo B para un beneficio máximo de 50 millones de ptas.