ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

1. a^x   = a^y Û x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.

Ejercicio:

Resolución:

· Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.

1 - x² = -3 ® x² = 4 ® x = ± 2

‚ Resolver 4^x+1 + 2^x+3 = 320

Resolución:

En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.

· Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:

                    4 · 4^x + 2³·2^x = 320 ®  4 · 4^x + 8·2^x = 320                    

· Expresando 4^x como potencia de dos,

                                  4 · 2^2x + 8 · 2^x = 320

· Se hace el cambio de variable 2^x = y, (por tanto 2^2x = y²) y se obtiene:

                                      4y² + 8y = 320

· Basta ahora con resolver esta ecuación:

                                     y² + 2y - 80 = 0

· Se deshace ahora el cambio y = 2^x

y₁ = -10 = 2^x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2^x es

                    siempre positivo)

y₂ = 8 = 2^x ®  x = 3

· La solución es, por tanto, x = 3

ƒ Resolver 5^x + 5^x+2 + 5^x+4 = 651

Resolución:

· Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como

                                     5^x + 5² ·5^x + 5⁴ ·5^x = 651

· Sacando factor común 5^x:

                                           5^x (1 + 5² + 5⁴) = 651

                                           5^x·651 = 651 ® 5^x = 1 ® x = 0

Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para su resolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas.

Ejercicio:

Resolución:

·Se despeja x en la segunda ecuación:

                                           x = 15 + y

· Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:

  2^15+y - 4^2y = 0    (Pero 4 = 2²)

  2^15+y - (2²)^2y = 0

  2^15+y - 2^4y = 0 Þ 2^15+y  = 2^4y  Þ

                     Þ 15 + y = 4y  Þ 3y = 15 Þ y = 5

· Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y:

x = 15 + 5 = 20

· Por tanto, y = 5 x = 20

Resolución:

· Se ponen todos los factores como potencia de base 2:

Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquier método resulta,

                                           x = -2; y = 1

Resolución:

· Para obtener los valores de x e y hay que deshacer el cambio:

a = 8 Þ 2^x = 8 Þ 2^x = 2³ Þ x = 3

b = 16 Þ 2^y = 16 Þ 2^y = 2⁴ Þ y = 4