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ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación logarítmica
es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada
por un logaritmo. Así en la ecuación 2 log x =
1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica. Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por
ecuaciones logarítmicas.
Cómo se
resuelven ecuaciones logarítmicas Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las
propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log
A = log B. Una vez conseguido, se aplica la equivalencia log A = log
B Û A = B, deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas. Ejercicio: Resolver la
ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9). Resolución: log x2 = log 10 + log
( x - 0' 9) log x2 = log [10 (x
- 0' 9)] Þ
x2
= 10 (x - 0' 9) x2 = 10x - 9 Þ
x2
- 10x + 9 = 0
Hay dos soluciones: x = 9
y x = 1
Resolución:
x no puede ser cero pues no existe log 0
La solución x = -4 no es
válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo
tanto, x = 4. Ejercicio: ecuaciones
exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos. Resolver la
ecuación 2x = 57. Resolución: Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57
Resolución: Tomando logaritmos en ambos miembros,
ƒ Resolver 43x = 8x + 6. Resolución: · Expresando 4 y 8
como potencias de dos (22)3x = (23)x + 6. · Esta ecuación
puede escribirse como (23x)2 = 23x + 6. · Haciendo el
cambio 23x = y, la ecuación se
escribe y2 = y + 6. Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer
el cambio de variable para obtener el valor de x.
Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2 Para y1 = 3, 23x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,
Para y2 = -2, 23x = -2. No existe un número
x que verifique esto ya que 23x es siempre positivo. Ejercicio:
Resolución:
10 y4 = 105 Þ y4 = 104 Þ y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.) Como x = 10y
Þ x = 10·10 = 100
Resolución:
(20 + y) y
= 100 Þ
20y + y2 = 100
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