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CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el
lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una
distancia fija llamada radio,
de un punto dado, llamado centro. Ecuación de la circunferencia
Considérese la circunferencia centrada en O(a,
b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la
misma es: d(X, O) = r, es decir:
(x - a)2
+ (y - b)2 = r2
Desarrollando los cuadrados se tiene: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2 x2 + y2 -2ax - 2by
+ a2 + b2 - r2 = 0 Llamando A = -2a,
B = -2b y C = a2 + b2 - r2, se tiene:
x2
+ y2 + Ax + By + C = 0 Ejercicio: cálculo
de la ecuación de una circunferencia ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hallar la ecuación
de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3. Resolución: · La distancia de X(x,
y) al punto (5, -2) es
· Para que el punto
esté sobre la circunferencia se ha de verificar:
Þ
x2 -
10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9
x2 + y2 - 10x + 4y
+ 20 = 0 ‚ Calcular la
ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3). Resolución:
Así la ecuación es:
x2 - 2x + 1 + y2 -
2y + 1 = 13 x2 + y2 - 2x - 2y
- 11 = 0 ƒ Hallar la ecuación
de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a
la recta x - 2y
+ 3 = 0 Resolución: · El radio es la
distancia del centro a una recta tangente:
· La ecuación es:
x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5
5x2 +
5y2
- 30x - 40y + 121 = 0 „ ¿Cuál es la
ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4)
y (-1, 1)? Resolución: La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos
han de verificar la ecuación:
Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se
obtiene:
Así, la ecuación pedida es:
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