CIRCUNFERENCIA

 

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.

 

Ecuación de la circunferencia

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:

 

d(X, O) = r, es decir:

 

 

                                           (x - a)2 + (y - b)2 = r2                                 

 

Desarrollando los cuadrados se tiene:

 

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2

 

x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

 

Llamando A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2, se tiene:

 

                                      x2 + y2 + Ax + By + C = 0

 

Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia

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 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

 

Resolución:

· La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

 

 

· Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

 

                   

 

                                Þ x2  - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9

 

                                     x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0

 

 

‚ Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al

punto (-2, 3).

 

Resolución:

 

Así la ecuación es:

 

 

x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13

 

x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

 

 

ƒ Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

 

Resolución:

· El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

 

                                 

 

· La ecuación es:

 

                                  

 

                                 x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5

 

                                5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0

 

„ ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?

 

Resolución:

La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma

 

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

 

Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:

 

          

 

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:

 

                                   

 

Así, la ecuación pedida es: