|
ECUACIÓN
DE 2º GRADO CON
UNA INCÓGNITA
Una ecuación
con una incógnita es de segundo
grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo
grado con una incógnita son:
Esta última ecuación
parece, a simple vista, de primer grado, pero si se opera en ella, x + 1 = 2x
(x - 1) Û x + 1 = 2x2 - 2x,
se observa que es una ecuación de segundo grado.
Cualquier ecuación de
segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma
ax2 + bx + c
= 0, donde
a, y b son los coeficientes de los términos x2
y x
respectivamente y c es
el término independiente.
Ecuación
de segundo grado completa
Una ecuación de segundo
grado es completa cuando los
tres coeficientes a,
b,
y c son
distintos de cero.
La expresión de una
ecuación de segundo grado completa es
ax2 +
bx + c = 0.
Ecuación
de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo
grado es incompleta cuando los términos b
ó c,
o ambos, son cero.
(Si a
= 0, la ecuación resultante sería bx
+ c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una
ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0; si
b
= 0 y
c = 0.
ax2 + bx = 0;
si c = 0.
ax2 + c = 0;
si b = 0.
Para transformar una
ecuación cualquiera de segundo grado en la forma ax2
+ bx + c =
0, se siguen, si procede, los siguientes pasos:
1. Se quitan paréntesis, teniendo en cuenta el signo que
les precede. 2.
Se quitan los denominadores multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los mismos.
3. Se pasan todos los términos de la ecuación al mismo
lado del signo =.
4. Se reducen los términos semejantes.
5. Se ordenan los términos según el orden decreciente de
los exponentes de x:
ax2 +
bx + c = 0.
Una vez obtenida esta expresión, si la ecuación puede
simplificarse, porque todos sus coeficientes sean múltiplos de algún número,
debe hacerse, con el fin de facilitar las operaciones posteriores.
Si el término en
x2 fuese
negativo, se multiplicaría toda la ecuación por -1, obteniéndose así
otra ecuación equivalente con el término de mayor grado positivo. Ejercicio:
1. Expresar la ecuación
3x2 - 2x + 1 = 5
en la forma ax2
+ bx + c = 0, indicando
los valores de los coeficientes a,
b y c. Resolución:
1. Se pasan todos los términos
al mismo lado del signo =, y se reducen los términos semejantes: 3x2
- 2x + 1 - 5 = 0 è 3x2
- 2x - 4 = 0
a = 3 es el
coeficiente del término en x2.
b = -2 es el
coeficiente del término en x.
c = -4; es el
término independiente. La ecuación es
completa. Ninguno de sus coeficientes es cero.
Resolución:
1. La
x
que está dividiendo en el primer miembro pasa a multiplicar al
segundo: 15 = (8 + x) × x
2.
Se quitan paréntesis: 15
= 8x + x2.
3. Se pasan todos los términos
al mismo miembro y se ordenan: 15 - 8x
- x2 = 0 Þ -x2
- 8x + 15 = 0.
4. Si en lugar de pasar
los términos al primer miembro, se pasan al segundo, la
ecuación resultante es: 0 = x2
+ 8x - 15,
ecuación equivalente a la anterior. En la ecuación -x2
- 8x + 15 = 0,
a = -1;
b = -8
y c = 15 En la ecuación
x2 + 8x - 15 = 0, a
= 1; b = 8 y
c
= -15 Los coeficientes son
iguales pero de signos contrarios. Para pasar de una ecuación
a otra basta con multiplicar por -1.
3 Expresar en la forma
ax2 + bx + c = 0, la ecuación
Resolución:
1.
Se quitan paréntesis:
2. Se multiplica toda la
ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30
15(3x
+ 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 +
2x + x + 2);
45x
+ 45 - 20x + 20 = 6x2 +
12x + 6x + 12);
45x
+ 45 - 20x + 20 - 6x2 -
12x - 6x - 12 = 0.
3. Se reducen términos
semejantes: 7x - 6x2
+ 53 = 0
4. Se ordena la ecuación
resultante: -6x2 +
7x + 53 = 0. |
