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FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
INVERSAS
distintos en [- 1, 1].
la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa
de f(x) = sen x, llamada «arco-seno»
y que se simboliza por arc sen x.
x ¾¾® f
(x)
= sen x ¾¾® f-1 [f
(x)] = f-1 (sen
x) = arc sen (sen x) = x
Derivada
de la función arc sen x Si y = arc sen x = f- 1(x), aplicando f, f(y) = f(f- 1(x))
= x, es decir, sen
y = x.
De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y ®
Derivada
de la función arc cos x Análogamente, la función cos
x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza
por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x =
cos y. Derivando por la regla de la cadena,
Derivada
de la función arc tg x La inversa de la función tg
x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc
tg x. y
= arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la
cadena,
Derivada
de la función arc cotg x La inversa de la función cotg
x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc
cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y.
Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,
Derivada
de la función arc sec x Análogamente a los casos
anteriores, sec x tiene una
función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc
sec x. y = arc sec x, x = sec y. Derivando
por la regla de la cadena,
1 = y' · sec y · tg y =
y' · x · tg y (1)
Derivada
de la función arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el
caso anterior,
y = arc cosec
x, x = cosec y Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)
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