Conjuntos convexos.

Puntos óptimos de funciones en conjuntos convexos.

Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma f(x, y) = ax + by.

Ha de observarse que para cada valor de "c", el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y) verifican f(x, y) = c es la recta de ecuación ax+by=c. Al variar "c", se obtiene rectas paralelas tales que todas tiene la misma pendiente -a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b).

Si los valores de x e y no están acotados, tampoco lo estará f(x, y), en cambio, si están restringidos a un cierto conjunto C, la función no podrá tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de valores máximo o mínimo (valores óptimos) de f(x, y) en C.

Se cumple el siguiente teorema: "Si una función lineal f(x, y)=ax+by tiene máximo o mínimo en un conjunto C convexo, toma este valor óptimo en un punto extremo".

En efecto, si el valor c fuera óptimo y correspondiera a un punto (x, y) interior al conjunto convexo C, siempre se podrían encontrar dos recta paralelas a ax+by+c=0, en las cuales f(x, y) tomaría valores mayores o menores que c y no podría ser c máximo o mínimo. Luego estos valores sólo pueden presentarse en los puntos extremos.

Usando este teorema, para encontrar los puntos óptimos de f(x, y) en el conjunto convexo C podemos proceder de dos formas:

Estudiar los valores de la función en los vértices (si su número es reducido) y decidir en cuál de ellos hay máximo o mínimo. Tengamos en cuenta que si la función toma el mismo valor en dos vértices consecutivos, también toma ese valor en todos los puntos del segmento que une esos dos vértices.

Representar las función en una gráfica para un valor cualquiera de c (se suele tomar c=0) y obtener, por simple inspección, desplazando la recta dibujada paralelamente a sí misma el punto óptimo. Este procedimiento, por ser gráfico es más impreciso a no ser que realicemos el dibujo con mucha precisión. Nosotros utilizaremos el método a) salvo que el número de vértices sea muy elevado.

Ejemplo:

Hallar el máximo y mínimo de la función f(x, y) = x-y en el recinto convexo solución del sistema de inecuaciones del último ejemplo.

Dado que la gráfica ya la tenemos (la reproducimos aquí poniendo nombre a los vértices del recinto que sólo son dos A y B pues el conjunto solución es abierto y no acotado):

El punto A es la solución del sistema de ecuaciones

luego

El punto B es la solución de:

siendo, pues

Los valores de la función en ambos vértices son:

La función presenta un máximo en el punto B pero no hay ningún valor mínimo al no ser el recinto acotado (luego veremos la discusión de estos problemas).

Cabe preguntarse ahora: ?Siempre hay punto máximo o mínimo de una función lineal en dos variables en un recinto convexo?

La respuesta es que la solución puede ser única. Infinitas o ninguna. Veamos los casos que pueden darse:

Si el recinto es cerrado existe una solución única para el máximo y otra para el mínimo en alguno de los vértices si en todos ellos la función toma valores distintos.

Si es cerrado pero hay dos vértices consecutivos en los que la función toma el mismo valor (y ese valor es por ejemplo máximo), entonces toma el mismo valor en todos los puntos del segmento que une ambos vértices, luego la función infinitos máximos y un mínimo. Al contrario sucedería si el valor común de los dos vértices fuese mínimo, habiendo entonces infinitos mínimos y un máximo

Si el recinto convexo no está acotado superiormente, no existe máximo aunque sí mínimo.

Si el recinto convexo no está acotado inferiormente, no existe mínimo aunque sí máximo.