Intersecciones de una cónica con una recta

Para calcular la intersección de una cónica con una recta se ha de resolver un sistema de ecuaciones, que dará lugar a una ecuación de segundo grado (ax² + bx + c = 0). Al resolver esta ecuación, se obtienen resultados distintos dependiendo del valor que tome el discriminante (D = b² - 4ac):

· Si el discriminante es negativo (b² - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales; sus dos soluciones son números complejos conjugados), el sistema no tiene solución. La recta no corta a la cónica y se dice que es exterior a ella.

· Si el discriminante es nulo (b² - 4ac = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales), la recta corta a la cónica en un solo punto. En este caso se dice que la recta es tangente a la cónica.

· Si el discriminante es positivo (b² - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas), la recta tiene dos puntos comunes con la cónica. Entonces se dice que la recta es secante a la cónica.

Ejercicio:

� Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse

2x² + 3y² - 4x + 6y - 9 = 0.

Resolución:

x = -y - 1

2(-y - 1)² + 3y² - 4(-y - 1) + 6y - 9 = 0

5y² + 14y - 3 = 0

‚ Trazar una tangente vertical a la cónica x² - y² + 2x + y - 2 = 0.

Resolución:

· Las rectas verticales son de la forma x = k

· Sustituyendo este valor en la ecuación:

k² - y² + 2k + y - 2 = 0,

-y² + y + (k² + 2k - 2) = 0

· Su discriminante es

b² - 4ac = 1 - 4 (-1) (k² + 2k - 2) = 1 + 4k² + 8k - 8 = 4k² + 8k - 7

La condición para que la recta sea tangente es que dicho discriminante sea nulo:

4k² + 8k - 7 = 0

Las tangentes verticales son:

ƒ Hallar las rectas tangentes a la curva y² = 4x que contengan al punto (-1, 0).

Resolución:

· Cualquier recta que contenga a dicho punto tiene una ecuación de la forma  y = m(x + 1), donde m es la pendiente.

· Sustituyendo en la ecuación de la parábola:

m²(x + 1)² = 4x Þ m²x² + 2m²x + m² = 4x Þ

Þ m²x² + (2m² - 4)x + m² = 0

· El discriminante es

(2m² - 4)² - 4m² · m² =

= 4m⁴ - 16m² + 16 - 4m⁴ = -16m² + 16

· La recta será tangente si este discriminante es nulo:

-16m² + 16 = 0 Þ 16m² = 16 Þ

Þ m = ±1

· Las tangentes buscadas son:

y = x + 1 e y = -(x + 1)