Forma trigonométrica y forma módulo-argumental de un complejo

 

Al representar un número complejo como un vector en la forma ya descrita, éste viene definido de manera única por dos valores: su módulo y el ángulo a formado por el eje positivo de abscisas con el vector. Este ángulo recibe el nombre de argumento del número complejo.

 

Dado un complejo z = a + bi  en su forma binómica y llamando  a su módulo y a a su argumento, se tienen las siguientes relaciones:

 

                               

 

Despejando a y b en estas igualdades, a =  cos a y b =  sen a

 

 

De ahí se tiene que:

 

                 a + bi  = cos a + sen ai  = ( cos a + i sen a)

 

                

Cualquier número complejo z puede representarse así como una expresión de la forma ( cos a + i sen a).

Esta manera de escribir un número complejo recibe el nombre de forma trigonométrica.

 

En muchos casos se escribe simplemente el módulo, y el argumento como subíndice. Así se podría escribir a, en lugar de escribir la forma trigonométrica completa ( cos a + i sen a).

 

Esta manera de expresar un número complejo se llama forma módulo argumental o polar.

 

Nótese que si al argumento de un número complejo es incrementado en 360º, al no variar el seno ni el coseno de dicho ángulo, el número complejo definido no varía.

 

 

Cálculo de módulo y argumento de un complejo

 

Para calcular el argumento de un número complejo z = a + bi , basta con tener en cuenta que:

 

                                           a = |z|·cos a

                                           b = |z|·sen a

 

Dividiendo estas dos igualdades,

 

                                       

 

 

Entre 0º y 360º hay, en general, dos ángulos cuya tangente toma ese valor. Para decidirse entre ellos es preciso fijarse en qué cuadrante se encuentra el complejo en cuestión.

 

Para calcular el módulo se suman los cuadrados de las dos igualdades obtenidas:

 

                                a2 + b2 = |z| cos a + |z|2 sen a =

                                                = |z|2 (cos a + sen a) = |z|2 Þ

                                          

 

 

Ejercicio:

 Escribir en forma módulo-argumental los complejos 3 + 2i , 1 - i , -2 - 5i.

 

Resolución:

 

 

Teniendo en cuenta que dos ángulos que difieren en 180º tienen la misma tangente, podría aceptarse a = 213º 41' 24'' .

 

Pero el complejo dado se encuentra en el primer cuadrante.

 

 

 

Los ángulos que tienen tangente -1 son los ángulos de 135º y 315º. Como el complejo dado pertenece al cuarto cuadrante, el argumento es 315º.

 

 

 

 

Los ángulos cuya tangente es 2,5 son 68º 11 54 y 248º 11 54. El complejo dado pertenece al tercer cuadrante, por lo que el argumento es el segundo valor.

 

 

‚ Representar en forma binómica los complejos 350º, 2180º, y 1220º

 

Resolución:

 

        350º = 3(cos 50º + i·sen 50º) = 3( 0,643 + 0,766 i ) = 1,929 + 2,298i

 

        2180º = 2(cos 180º + i·sen 180º) = 2 ( -1 + 0i ) = - 2

 

        1220º = 1(cos 220º + i·sen 220º) = - 0,766 - 0,643 i

 

 

Producto de complejos en forma módulo-argumental

Aunque ya se dispone de un método para calcular el producto de dos números complejos cualesquiera, cuando ambos números vienen dados en su forma módulo-argumenal existe un procedimiento mucho más sencillo. Este método consiste en multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos.

 

Para ver que esto es correcto, basta con efectuar la multiplicación:

 

                    Ra · R'a' = R (cos a + i sen a) · R' (cos a' + isen a' ) =

    = RR' { (cos a · cos a' - sen a · sen a' ) + i ( sen a · cos a' + cos a · sen a' )}

 

Pero las expresiones que se encuentran entre paréntesis son precisamente las

               Ra · R'a' = RR' {cos (a + a') + i sen ( a + a' )} = (RR' )a + a'

 

 

Ejercicios

 Demostrar que para dividir dos números complejos se dividen sus módulos y se restan sus argumentos.

 

Resolución:

 

Supóngase que se quieren dividir los complejos Ra · R'a' . Llmando R'' al módulo del cociente y a' ' a su argumento,

 

                   

 

 

 

‚ Comprobar la fórmula vista para el producto multiplicando por dos métodos distintos los complejos 3i  y 2 - 2i .

 

Resolución:

 

· En primer lugar se multiplican directamente los dos números:

 

                                      3i (2 - 2i ) = 6i  - 6i 2 = 6 + 6i

 

· Ahora se calcula el módulo y el argumento de cada uno de los factores:

 

                               

 

                   

Por ser positiva la ordenada,

a = 90º Þ 3i = 390º.

                               

                

Como el complejo dado está en el cuarto cuadrante, será

Multiplicando en forma módulo-argumental:

       

Transformando dicho número a su forma binómica:

 

            

                                                                 

 

 

ƒ Demostrar que el producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo.

 

Resolución:

Se van a dar dos demostraciones:

 

                        

 

b) Si se considera el complejo dado en la forma módulo-argumental, cuyo módulo es R y cuyo argumento es a, en la figura adjunta se ve que su conjugado tiene también módulo R,

 

Multiplicando:

 

Ra · R360º - a' = (R.R)360º = R2 (cos 360º + isen 360º) = R2 (1+ 0i ) = R2