REGLA DE LA CADENA

 

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

 

                                            

 

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

 

                                          

 

entonces la función compuesta

 

                                    

 

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

 

                                    

 

 

Ejemplo: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.

 

Resolución:

 

· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x.

 

                                      

 

 

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2

 

             

 

· Por la regla de la cadena,

 

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2

 

 

Resolución:

 

 

                                   

                                 

                        

 

 

· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,

 

· Por la regla de la cadena,

 

                               

 

Regla de la cadena para la función potencial

 

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

 

                                  

 

aplicando la regla de la cadena, será:

 

                                 [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)

 

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

 

Así,

                          

 

 

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.

 

Resolución:

 

· Si u = x2 + 1, u' = 2x

 

En este caso m = 3

 

· f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

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Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

 

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

 

                                            

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

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Resolución:

 

 

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

 

                          

 

· Se aplica la regla de la cadena:

 

 

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

 

Resolución:

 

· u = sen x; u' = cos x

 

 

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

 

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,

 

                                   f'(x) = (au )' = u' · au · ln a

 

                                         g'(x) = (eu )' = u' · eu

 

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

 

Resolución:

 

· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

 

                        f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4

 

 

Resolución:

 

 

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

 

      

        

           

        

   

       

 

Ejemplos

 Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

 

Resolución:

 

· Si u = sen x, u' = cos x

 

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

 

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)

 

Resolución:

 

· u = x2 - 1; u' = 2x

 

· g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)

 

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen3x2

 

Resolución:

 

· Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.

 

· Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'

 

Llamando v = x2; u = sen v.

 

u' = v' · cos v = 2x · cos x2

 

· Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =

= 6x · sen2x2 · cos x2

 

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.