APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

 

 

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

 

Resolución:

 

1. Cualquier número par puede expresarse en la forma   2x.

 

2. Sea pues   2x   un número par. El par consecutivo de  2x  es  2x + 2.

 

3. El producto de los dos números es 168:  2x(2x + 2) = 168.  Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

 

4. 2x(2x + 2) = 168 

 

    4x2 + 4x - 168 = 0.

 

5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta   x2 + x - 42 = 0.

 

 

 

6. Si  x = 6,  2x + 2 = 12 + 2 = 14

 

Una solución es 12 y 14.

 

7. Si  x = -7,  2x + 2 = -14 + 2 = -12

 

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son  -14 y -12.

 

El problema tiene dos soluciones:  12 y 14; -12 y -14.

 

2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380.

 

Resolución:

 

1. Si  x  es uno de los números, el otro será  39 - x,  puesto que entre las dos han de sumar 39.

 

2. El producto de los dos números es 380:

 

                                           x(39 - x) = 380

 

3. Las soluciones de esta ecuación son:

 

x(39 - x) = 380  Þ  39x - x2 - 380 = 0  Þ  x2 - 39x + 380 = 0

 

 

Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19.

 

Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20.

 

 

3. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pta. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

 

Resolución:

 

1. Sea  x  el número de gomas que se han comprado por 60 pesos. El precio de cada goma se obtendrá dividiendo el precio total entre el número de gomas.

 

 


sería de 1 peso. menos cada una, entonces se obtendrá:

 

 

 

2. Resolviendo esta ecuación:

 

 

                    è 60x + 180 - x2 -3x = 60x è x2 + 3x - 180 = 0

 

 

El número de gomas que se compraron fue 12, ya que una solución negativa para

un número de objetos no tiene sentido. Cada goma costó 60/12 pesos.

 

Si se hubieran comprado 3 gomas más, es decir, 15 gomas, el precio hubiese sido

de 4 pesos cada una.

 

4. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

 

Resolución:

 

1. Sea  x  el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.

 

del trabajo.

 

 

 

2. Se resuelve la ecuación:

 

m.c.m. (x,  5 + x,  12) = 12 × x × (5 + x)

12 × (5 + x) + 12x = x(5 + x)

60 + 12x + 12x = 5x + x2

x2 - 19x - 60 = 0

 

 

El primer obrero tarda en realizar el trabajo, él solo, 21,75 horas, es decir, 21 horas y

45 minutos.

 

El segundo obrero tarda 5 horas más, es decir, 26 horas y 45 minutos.

 

 

5. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.

 

Resolución:

 

1. Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer en la forma

(x - 3) (x - x2) = 0,  donde  x2  es la segunda solución de la ecuación.

 

2. Desarrollando el producto:  x2 - x × x2 - 3x + 3x2 = 0.

 

3. El término independiente es  3x2, y vale 15.

 

 

4. La ecuación es  (x - 3) (x - 5) = 0  Þ  x2 - 8x + 15 = 0.

 

6. Determinar el valor de  m  para que la ecuación  2x2 - 4x + m = 0  tenga una raíz doble.

 

Resolución:

 

1. Una ecuación de segundo grado tiene una raíz doble si su discriminante es cero.

 

D = b2 - 4ac = 0

 

 

2. La ecuación  2x2 - 4x + m = 0  tiene una raíz doble si   m = 2.

 

7. Si se aumenta en  4 cm  el lado de un cuadrado, su área aumenta en  104 cm2.  Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial.

 

Resolución:

 

1. Sea  l   el lado del cuadrado. El área será  S = l 2.

 

2. Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado,  l  + 4,  su área será  (l  + 4)2.

 

3. Al hacer la transformación, el área aumenta en 104 cm2, es decir: l 2 + 104 = (l  + 4)2

 

4. Se resuelve la ecuación   l 2 + 104 = l 2 + 16 + 8l .

 

5. Simplificando  l 2  en los dos miembros, resulta una ecuación de primer grado:

 

6. El área del cuadrado inicial es  S = l 2 = 112 = 121 cm2

 

7. El perímetro del cuadrado inicial es  P = 4 × l  = 4 × 11 cm = 44 cm