ANUALIDAD

 

Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago.

Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada.

Anualidad ordinaria

En una anualidad ordinaria simple, los pagos se efectúan periódicamente según un cierto intervalo de pago que coincide con los periodos de interés y, además, cada pago se realiza al final del primer intervalo, el segundo al final del segundo intervalo, etc...

¿Cómo calcular el capital, valor final , en que se convierte una anualidad en un cierto periodo de tiempo?

Ejercicio:

1. Calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10 000 pesos anuales durante 4 años al 5 % de interés.

Resolución:

Como es una anualidad ordinaria, el primer pago se efectuará al final del primer año.

Las 10 000 pesos del primer pago estarán invertidas durante 3 años, puesto que la anualidad es de 4 años y ya ha transcurrido uno. Luego el primer pago gana intereses durante 3 años. Al final del plazo de la anualidad, esas 10 000 pesos se habrán convertido en

10 000 (1 + 0,05)3 pesos= 11 576,25 pesos

Por el mismo razonamiento, el segundo pago produce intereses durante dos años, por lo que se convierte en

10 000 (1 + 0,05)2 pesos= 11 025 pesos

El tercer pago produce intereses durante 1 año:

10 000 (1 + 0,05) pesos= 10 500 pesos

Y el último pago coincide con el final del plazo de la anualidad, por lo que no produce ningún interés. Llamando V al valor final de la anualidad:

V = 11 576,25 + 11 025 + 10 500 + 10 000 = 43 101

V = 43 101 pesos

Se observa que el valor final de la anualidad es la suma de los valores finales de cada uno de los pagos invertidos a interés compuesto hasta el final del plazo de la anualidad.

Cálculo del valor final de una anualidad ordinaria

Sea R el pago periódico de una anualidad ordinaria, i la tasa de interés por periodo de interés, n el número de intervalos de pago (igual al número de periodos de interés por ser una anualidad ordinaria) y V el valor final de dicha anualidad.

El primer pago R se convertirá en R (1 + i )n - 1, puesto que está invertido durante (n - 1) periodos de interés.

El segundo pago R, se convertirá en R (1 + i )n - 2

El penúltimo pago se convertirá en R (1 + i )1

El último pago será R.

El valor final será:

V = R + R (1 + i ) + R (1 + i )2 + ... + R (1 + i )n - 2 + R (1 + i )n - 1

Como puede observarse, se ha obtenido la suma de n términos de una progresión geométrica de razón (1 + i ) y término inicial, R.

Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión

Ejercicio: cálculo del valor final de una anualidad ordinaria

1. ¿En cuánto se convierte una anualidad ordinaria de 5 000 pesos anuales, durante

6 años, al 3 %?

Resolución:

2. Al final de cada año se depositan en el banco 150 000 pesos. Si el banco paga el 7 % anual, ¿cuánto dinero habría inmediatamente después del 5.º año? ¿Y después del 8.º?

Resolución:

Al final del 5.º año habría 862 611 pesos.

Al final del 8.º año habría 1 538 970 pesos.